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D13三重积分柱坐标与极坐标ppt

来源:未知 编辑:admin 时间:2019-08-09

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  目录上页下页返回结束利用柱坐标计算三重积分的步骤考虑是否用柱坐标计算化为柱坐标系下三重积分积分次序:定限方法:化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时将其余变量视为常数Omega的投影为圆或圆的一部分三变、一勿忘积分区域Omega柱坐标表示被积函数体积元素一个勿忘一般先z后rho再theta投影、发射目录上页下页返回结束利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下三重积分积分次序:定限方法:化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时将其余变量视为常数.Omega的球或球的一部分三变、一勿忘积分区域Omega球坐标表示被积函数体积元素一个勿忘一般先r后phi再theta.观察、想象.目录上页下页返回结束三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素(计算时将三重积分化为三次积分)小结方法ldquo先一后二rdquo方法ldquo先二后一rdquo目录上页下页返回结束确定上下曲面函数得z的积分限把Omega往xoy平面上投影,得积分区域D先求关于z的定积分,得x,y的二元函数再求关于x,y的二重积分先一后二rdquo积分法的基本步骤:对zisina,b用过点(,,z)且平行xOy平面的平面去截Omega得截面Dz把Omega向z轴投影,得z的积分限a,b先求关于x,y的二重积分,得ldquo先二后一rdquo积分法的基本步骤:最后计算单积分目录上页下页返回结束第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第十章目录上页下页返回结束回忆用投影法(先一后二)计算三重积分如果积分区域在坐标面上的投影区域D是圆域则二重积分应当考虑用极坐标计算这就等于用柱面坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分目录上页下页返回结束利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面目录上页下页返回结束在柱面坐标系中体积元素为因此元素区域由六个坐标面围成目录上页下页返回结束如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离*目录上页下页返回结束常见曲面的柱面坐标方程半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面曲面直角坐标方程柱面坐标方程目录上页下页返回结束常见曲面的柱面坐标方程目录上页下页返回结束、利用公式用柱面坐标计算三重积分的一般步骤:、将区域往xoy面上投影确定平面区域D、过D内任一点(xy)做平行于z轴的直线穿区域确定z的上下限、在D上分别确定r、上下限(类同于平面极坐标)次序为:zr将的边界曲面、被积函数f(xyz)、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式柱面坐标常用于:圆柱体和圆锥体上的三重积分。目录上页下页返回结束例计算三重积分所围成与平面其中由抛物面在柱面坐标系下原式=解:在xOy面上的投影区域D:上边界曲面为z=下边界曲面为z目录上页下页返回结束例计算解:故在xOy平面得交线上投影区域为所围成与平面其中由圆锥面上边界曲面为z=下边界曲面为z目录上页下页返回结束解:例计算三重积分所围成与抛物面其中由球面知交线为由原式=上边界:下边界:目录上页下页返回结束其中为例计算三重积分所解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体目录上页下页返回结束利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为目录上页下页返回结束半平面及d半径为r及rdr的球面圆锥面及drdrdrsin圆锥面rd球面r圆锥面d球面rdr元素区域由六个坐标面围成:drsind球面坐标下的体积元素目录上页下页返回结束元素区域由六个坐标面围成:球面坐标下的体积元素半平面及d半径为r及rdr的球面圆锥面及drdrdxzydrdrsinddv目录上页下页返回结束如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中*目录上页下页返回结束球面坐标直角坐标球体下面介绍一些区域的球面坐标的描述目录上页下页返回结束球面坐标直角坐标球体目录上页下页返回结束球面坐标直角坐标球顶锥体目录上页下页返回结束常见的曲面在球坐标下的方程目录上页下页返回结束次序为:r将区域往xoy面上投影确定平面区域D过原点做射线穿区域确定r的上下限关系式对任一过z轴做半平面找出角变化最用球面坐标计算三重积分的一般步骤:将的边界曲面、被积函数f(xyz)、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式由D找出的上下限大的与的截面确定的上下限注:当积分区域由球面、锥面或其一部分所围时选用球面坐标计算较简便。目录上页下页返回结束例计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体其中与球面目录上页下页返回结束例求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为目录上页下页返回结束求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成于是所求立体的体积为此球面的方程为xy(za)a即xyzaz例的立体的体积由圆锥面和球面围成,解:采用球面坐标锥面方程为在球面坐标下球面方程为racos,目录上页下页返回结束例计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体其中面是由两个球目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束解:例计算三重积分所围立体其中面是由两个球原式目录上页下页返回结束aMr解:在球面坐标系下()计算其中由不等式所确定目录上页下页返回结束解:在球面坐标系下()计算其中由不等式所确定目录上页下页返回结束所围成的闭区域()计算其中是由球面解:在球面坐标系下目录上页下页返回结束所围成的闭区域()计算其中是由球面解:在球面坐标系下目录上页下页返回结束所围成的在第一卦限内的闭区域()计算其中为柱面解:在柱面坐标系下及平面目录上页下页返回结束()求曲面所围立体体积解:由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xOz目录上页下页返回结束设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标目录上页下页返回结束内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离围成目录上页下页返回结束作业P()。第四节目录上页下页返回结束例求曲面所围立体体积解:由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xOz目录上页下页返回结束计算其中解:利用对称性目录上页下页返回结束将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,目录上页下页返回结束*例解解目录上页下页返回结束例解目录上页下页返回结束例解目录上页下页返回结束备用题计算所围成其中由分析:若用ldquo先二后一rdquo,则有计算较繁!采用ldquo三次积分rdquo较好*目录上页下页返回结束所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便表为解:目录上页下页返回结束如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:)积分域表面用球面坐标表示时方程简单)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离目录上页下页返回结束例计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成与平面其中由抛物面原式=目录上页下页返回结束***

  中考地理成绩的提升是从打基础做起,无论是初一地理还是初二地理,亦或是初三地理总复习,只要认真对待,做好地理复习,地理学习效率高,地理成绩也自然提升。

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