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§4基变换和坐标变换ppt

来源:未知 编辑:admin 时间:2019-08-09

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  * §4 基变换与坐标变换 主要内容 基变换 坐标变换公式 目录 下页 返回 结束 一、基变换 在 n 维线性空间中,任意 n 个线性无关的向量 都可以作为线性空间的基,即空间的基不唯一. 对 不同的基,同一个向量的坐标一般是不同的. 第三 节的例子已经说明了这一点. 在这一节中,我们 要研究的问题是,随着基的改变,向量的坐标是 怎样变化的. 首页 上页 下页 返回 结束 1. 基变换公式 设 ? 1 , ? 2 , … , ? n 与?1? , ?2? , …, ?n? 是n维线性空间 V 中两组基, 则 ?1? , ?2? , …, ?n? 可由? 1, ? 2, …, ? n线性表示, 设它们的关系是 称 (1) 为基变换公式. 首页 上页 下页 返回 结束 2. 基变换公式的矩阵形式 为了写起来方便,我们引入一种形式的写法. 把基写成一个 1 ? n 矩阵,于是 (1) 可写成如下矩 阵形式: 简记为 首页 上页 下页 返回 结束 矩阵 称为由基? 1 , ? 2 , … , ? n 到?1? , ?2? , …, ?n? 的过渡矩阵. 注: 1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”.因为在这里把向量作为矩阵的元素, 一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下,这种约定的用法是不会出毛病的. 首页 上页 下页 返回 结束 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ), 就是第二组基向量 ?j? 在第一组? 1 , ? 2 , … , ? n下的坐标. 3) 过渡矩阵 A 是可逆的. 而一个向量在取定基下的坐标是唯一的, 故 于是A可逆. 首页 上页 下页 返回 结束 因此, 从基(II)到基(I)的过渡矩阵是 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 上例说明: (1) n维线性空间中一个基到另一个基的过渡矩阵是可逆矩阵. (2) 任意一个n阶可逆矩阵A都可以作为n维线性空间V中, 由一个基到另一个基的过渡矩阵. 首页 上页 下页 返回 结束 3. 运算规律 设 ?1 , ?2 , … , ?n 和 ?1 , ?2 , … , ?n 是 V 中两个 向量组, A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n ? n 矩阵, 则 1) ((?1 , ?2 , … , ?n )A)B=(?1 , ?2 , … , ?n )(AB); 2) (?1 , ?2 , … , ?n )A + (?1 , ?2 , … , ?n )B = (?1 , ?2 , … , ?n ) (A+B) ; 3) (?1 , ?2 , … , ?n )A + (?1 , ?2 , … , ?n )A = (?1 + ?1 , ?2 + ?2 , … , ?n + ?n ) A . 首页 上页 下页 返回 结束 二、坐标变换公式 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 上述两式称为在基变换 下, 向量的坐标变换公式. 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 行变换 例如, 上例中 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 例 5 在 P[ x ]4 中取两个基 求由基?1 , ?2 , … , ?n 到 ?1 , ?2 , … , ?n的过渡矩阵 和坐标变换公式. 解 将 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 用 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 表示. 由 首页 上页 下页 返回 结束 其中 首页 上页 下页 返回 结束 得 故所求过渡矩阵为 A-1B ,坐标变换公式为 行变换 首页 上页 下页 返回 结束 故 坐标变换公式为 首页 上页 返回 结束 *

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